domingo, 24 de mayo de 2015

3.6 - La regla de la cadena y de la potencia.

En cálcuo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Descripción de la regla

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si f\, es diferenciable en x\, y g\, es una función diferenciable en f(x)\,, entonces la función compuesta (g \circ f)(x) = g(f(x)) es diferenciable en x\, y
(g \circ f)'(x) = \frac {d(g \circ f)} {dx} = \frac {d \; g(f(x))} {dx} = \frac {d} {dx} \; g(f(x)) = g'(f(x))\cdot f'(x)

Notación de Leibniz

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:
\frac {dg}{dx} = \frac {dg} {df} \frac {df}{dx}
donde \frac {dg} {df} indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Demostración de la regla de la cadena

Sea
h\left(x\right) = \left(f \circ g\right)\left(x\right).
Esto es entonces
h\left(x\right) = f\left(g\left(x\right)\right).
Aplicando la definición de derivada se tiene
\frac {\text{d}h}{\text{d}x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}.
Donde queda
= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}.
Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right) (esta demostración solo vale cuando g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right) es distinto de cero , por ejemplo si g(x) fuera constante no se cumple)
= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}.
= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{\Delta x}.
= \frac{\text{d}f}{\text{d}g}\cdot\frac{\text{d}g}{\text{d}x}. CQD(Como Quería Demostrarse)

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_cadena
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