3.1 - Definición de la dervada

Concepto de derivada

Derivada de una función en un punto

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Ejemplos

1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x² en el punto x = 2.

2. Calcular la derivada de la función f(x) = x² + 4x − 5 en x = 1.

Unidad 3 - Derivada de una función

Objetivo:

El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y
como razón de cambio. Utilizará la definición de la derivada para obtener algunas
reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la resolución de
problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente
a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad, ingreso y producción.

2.6 - Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: interés compuesto continuamente, límite de la función costo promedio.

Interés Compuesto

El interés compuesto es una formula que nos ayuda calcular el valor presente y el valor futuro de cierta cantidad con intereses que se ven acumulando es decir, los interese que se ganan en un periodo más la cantidad inicial, se volverán a invertir en el siguiente periodo y así sucesivamente, es por esto que se considera un tipo de interés compuesto. La diferencia radica en que los periodos de capitalización son demasiado cortos, casi instantáneos es por esto que se le llaca "Capitalización Continua" por que es casi continua la capitalización de intereses.

Continua se considera un tipo de interés compuesto

Si se tiene una tasa nominal constante y la capitalización es más frecuente, el monto compuesto (capital + interés) aumenta. Esto quiere decir que entre más rápido es la capitalización de los intereses, mayor será el monto esperado. La periodicidad instantánea sería cuando "m" tiende a infinito. Si "m" tiende a infinito también "v".²

Las fórmulas para obtener el valor futuro y presente de la capitalización continua son:³

M \ = \,C \left( {1+\frac{i}{m}} \right)^{mt}

v \ = \ \frac{m}{i}

M\,=\,C\left[ \left(1+ \frac{i}{m}\right)^v \, \right]^{it}

\lim_{v \to \, \infty}\,C\left[ \left(1+ \frac{i}{m}\right)^v \, \right]^{it} \ = \,C e^{it}

Donde:

M = Valor Futuro
C = Valor Presente
$i$ = Tasa Efectiva
$m$ = Periodicidad
$t$ = Tiempo

Por lo tanto simplificando la fórmula, el valor futuro y el valor presente calculado a una tasa instantánea o de capitalización continua será:²

M\ = \,C e^{it}

C\, = \frac{M}{e^{it}}

La nomenclatura se respeta siendo la misma de arriba.

COSTO PROMEDIO

Aplicaciones en EconomíaEn la Economía también es importante considerar la variación de una cantidad respecto a otra. Por ejemplo la demanda de un producto respecto a su precio, o el precio de un producto respecto a su costo de producción o la utilidad obtenida en la venta de un producto, con relación al costo de producción, etc.

Por lo anterior, es muy importante la representación de las cantidades relacionadas en forma de funciones que puedan ser derivables, no obstante que los datos que se manejan sean discretos, por ejemplo cuando se establece la función de costo , la variable x representa unidades de cierta mercancía.

Conceptos previos
En Economía se suele describir la variación de una cantidad respecto a otra mediante un concepto llamado promedio que expresa la variación de una cantidad sobre un rango específico de valores de otra y un concepto llamado marginal que expresa el cambio instantáneo en una cantidad respecto a la otra.

Un símil de los conceptos anteriores en Física serían los conceptos de velocidad promedio y velocidad instantánea o lo que geométricamente serían la pendiente de la recta secante y la pendiente de la recta tangente, respectivamente.

Un ejemplo:
- Si es la función que representa el Costo Total en unidades monetarias para producir x unidades de cierta mercancía:
- El costo promedio de producción de cada unidad, sería el costo total entre la cantidad de unidades de mercancía producidas, es decir: , a la cual se le llama función del Costo Promedio.
- El costo marginal cuando es , si esta cantidad existe. Y se interpreta como la razón de cambio instantánea del Costo Total con respecto al cambio unitario en las unidades producidas, cuando se producen unidades.
- De manera similar sería el Costo Promedio Marginal cuando y que representa la razón de cambio instantánea del Costo Promedio cuando .
Otro ejemplo
Si p es el precio de unitario de cierta mercancía y x el número de unidades de dicha mercancía. Es natural pensar que la cantidad solicitada por los consumidores en el mercado, dependa de su precio. Es natural pensar que "a menor precio, mayor demanda y a mayor precio, menor demanda".

A veces también es posible considerar que el precio de un producto se puede establecer en función de su demanda: "a mayor demanda menor precio". En este caso, tendríamos p = g(x) que se llamaría función de demanda o inclusive podría establecerse mediante una ecuación de demanda. A la gráfica correspondiente que relaciona cantidad x solicitada y el precio p, los economistas acostumbran llamarle curva de la demanda.

Aquí un caso típico de curva de demanda
- Un caso típico: La demanda de un cierto producto es nula cuando el precio es muy alto (p=18), mientras que el consumo máximo de dicho producto en una familia no puede pasar de cierto valor (6 unidades) aun que el precio fuese cero.
- Derivado de estos conceptos, se tiene la función de Ingreso Total, R(x) = x P(x), es decir: la cantidad de unidades vendidadas, por el precio de las mismas.
- Y además la función de Ingreso Marginal, R'(x) = P(x) + x P'(x), que representaría la razón de cambio del ingreso total para cada x.

http://es.wikipedia.org/wiki/Capitalizaci%C3%B3n_continua

http://www.objetos.unam.mx/matematicas/matema/Daplica/da_aplicacion05_d.html

RESUMEN DE LA UNIDAD 2:

En esta unidad aprendimos lo que son los límites, cómo encontrarlos gracias a sus propiedades que facilitan mucho el desarrollo; aprendimos los límites laterales, como sacarlos por la parte de derecha como por la parte izquierda. También vimos lo que son los límites infinitos y hacia el infinito, una forma de ayudarnos a resolverlos es usar tu imaginación. Algo más que aprendimos fué como ver si una grafica tenía continuidad o discontinuidad al aplicar sus tres condiciones.

2.5 - Continuidad y discontinuidad

Continuidad de una función

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x = a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Ejemplo

Estudiar la continuidad de Función

en x = 2

1. La función tiene imagen en x = 2.

f(2)= 4

2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales.

3. En x = 2 la imagen coincide con el límite

En la gráfica podemos comprobar que es continua.

Discontinuidad de funciones

Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en un punto.

La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.

La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite, ya que no coinciden los límites laterales..

La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.

http://www.vitutor.com/fun/3/b_1.html

http://www.vitutor.com/fun/3/b_4.html

2.4 - Límites al infinito

Limites infinitos

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo

http://www.vitutor.com/fun/3/a_3.html

2.3 - Límites laterales

Límites laterales

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0tal que si x (a − δ, a) , entonces |f (x) − L| < ε .

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0tal que si x (a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε .