domingo, 24 de mayo de 2015

5.6 - Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

La elasticidad se usa con frecuencia respecto de la relación precio-demanda y de la relación precio-oferta, pero la aplicabilidad de este concepto no está restringida a ese único caso, sino que es más amplia, ya que la elasticidad se calculan con porcentajes debido a que es la única forma de obtener una unidad de medida común. Al calcular la elasticidad en una relación se mantienen las unidades de medidas, por lo tanto, no miden un cambio proporcional, sino una propensión, como la propensión al consumo keynesiana.
Desde un punto de vista matemático la elasticidad E es un número real que refleja qué incremento porcentual de una variable Y tendremos si se produce un incremento porcentual de una variable X, que controla o determina parcialmente el nivel de Y:
%Y \approx E \cdot %X \iff \quad \frac{\Delta Y}{Y} \approx E \frac{\Delta X}{X}

Representación gráfica


E(y,x)= \frac{\part \log(y)}{\part \log(x)}.Una manera gráfica de determinar la elasticidad de una curva es el trazado de la función y(x) en un gráfico con escalas logarítmicas o gráfico log/log. Esto se puede hacer dibujando la función analítica y(x) ya obtenida o mediante la ubicación de los pares (x, y(x)) y su posterior ultrarregresión. La elasticidad E(y,x) será la pendiente de la curva trazada, lo que se justifica mediante la definición de la elasticidad para curvas totalmente diferenciables.

ELASTICIDAD INGRESO DE LA DEMANDA
La elasticidad ingreso de la demanda , llamada a veces elasticidad demanda-renta, mide cómo afectan las variaciones de la renta o ingresos de los consumidores a la cantidad demandada de un bien. El coeficiente de elasticidad ingreso de la demanda e I se calcula dividiendo la variación porcentual de la demanda por la variación porcentual de la renta.
De acuerdo al valor de e I , los bienes se pueden clasificar como:
•  Bienes normales : Son aquellos cuyo coeficiente de elasticidad ingreso es positivo. Esto significa que cuando aumentan los ingresos del consumidor, la demanda de los bienes normales también aumenta. Pueden ser:
•  Bienes de lujo: Su coeficiente de elasticidad ingreso es mayor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción mayor.
•  Bienes básicos: Su coeficiente de elasticidad ingreso es positivo y menor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción menor.
•  Bienes inferiores : Su coeficiente de elasticidad ingreso es negativo. Por tanto, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda de estos bienes disminuye porque el consumidor puede optar por otros productos de mayor calidad.
Debido a la variabilidad de la elasticidad ingreso, un bien puede ser de lujo a niveles bajos de ingreso y un bien inferior a niveles altos de ingreso.
ELASTICIDAD CRUZADA DE LA DEMANDA
La elasticidad cruzada de la demanda mide cómo evoluciona y se modifica la demanda de un bien cuando cambia el precio de otro. La elasticidad cruzada se calcula dividiendo el cambio porcentual de la cantidad demandada del bien X ante una variación porcentual del precio del bienY . Si los bienes son sustitutivos (por ejemplo, distintas marcas de automóviles) el aumento del precio de la marca X puede aumentar las ventas de la marca Y , por lo que la elasticidad cruzada será positiva. Si los bienes son complementarios, por ejemplo, los ordenadores o computadoras y el software, el aumento del precio de uno disminuirá las ventas del otro, por lo que la elasticidad cruzada será negativa. Si los bienes son independientes, por ejemplo, teléfonos y cepillos de dientes, por mucho que aumente el precio de uno no variará la demanda del otro, por lo que la elasticidad cruzada será cero.
El coeficiente de elasticidad cruzada del bien X con respecto al bien Y se define como:
ELASTICIDAD PRECIO DE LA OFERTA
La elasticidad precio de la oferta mide cómo la variación del precio de un bien afecta a la cantidad ofrecida de ese bien, cuando todos los demás factores permanecen constantes. Se calcula dividiendo el cambio porcentual en la cantidad ofrecida por el cambio porcentual del precio.
El coeficiente de la elasticidad precio de la oferta ( e O ) es una medida del cambio porcentual de la cantidad ofrecida de un artículo por unidad de tiempo, que resulta de una variación porcentual del precio del artículo. Si ?Qo representa el cambio en la cantidad ofrecida de un artículo debido a un cambio en su precio ?P, el coeficiente de elasticidad se define como:
De acuerdo a este criterio, la oferta se puede clasificar en elástica (si e O > 1), inelástica (si e O < 1) y unitaria (si e O = 1). Se pueden encontrar e O arco y e O punto de la misma forma que e arco y el punto

http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_%28econom%C3%ADa%29

http://www.aulafacil.com/cursosenviados/cursomicroeconomia/Lecc-7.htm


Resumen de la Unidad 5:

 En esta unidad entramos a un nuevo tema pero sin dejar de aplicar todas las derivadas que aprendimos en unidades anteriores, gracias a ellas podemos ver si una función es creciente o decreciente, también podemos sacar los extremos relativos y abolutos de una función, además de su o sus puntos críticos. Usando la segunda derivada también podemos ver la concavidad de una función y si esta es asíntota, ya sean horizontales o verticales.
Publicadas por a la/s 7 comentarios:

5.5 - Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.



Publicadas por a la/s No hay comentarios.:

5.4 - Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.



Concavidad y puntos de inflexión

La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:


 Definición  de concavidad
 Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, $(A\subseteq D_{f})$, si $f'(x)$ es creciente sobre A. Si $f'(x)$ es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada $f'$ la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo $]a,b[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]b,c[$

 Teorema 5
 Si f es una función tal que $f''(x)>0$ cuando $x \in ]a,b[$, entonces la gráfica de fes cóncava hacia arriba sobre $]a,b[$.

Demostración:

Si $f''(x)>0$ y como $f''(x)= D_{x}f'(x)$, entonces se tiene que $f'(x)$ es creciente sobre $]a,b[$ por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre $]a,b[$.
 
 Teorema 6
 Si f es una función tal que $f''(x)<0$ cuando $x \in ]a,b[$, entonces la gráfica de fes cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.

Demostración:

De la hipótesis: $f''(x)<0$, y como $f''(x)_{x}=D_{x}f'(x)$, se obtiene que $f'(x)$ es decreciente sobre $]a,b[$ por lo que según la definición dada sobre concavidad, la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}-\displaystyle\frac{x^3}{3}$

Si $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}-\displaystyle\frac{x^3}{3}$ entonces $f'(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}-x^2$, y, $f''(x)=x^2-2x=x(x-2)$

Luego, $f''(x)>0$ si $x \in ]-\infty,0[ \; \cup \; ]2,+\infty[$ y, $f''(x)<0$ si $x \in ]0,2[$.

Como $f''(x)= D_{x}f'(x)$, entonces $f'$ es creciente en los intervalos$]-\infty,0[\;,\; ]2,+\infty[$, pues en ellos $f''(x)$ es positiva. Además $f'$ es decreciente en el intervalo $]0,2[$ pues en el $f''(x)$ es negativa.

Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo $]-\infty,0[ \; \cup \; ]2,+\infty[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]0,2[$.

La representación gráfica de la función $f'$ es la siguiente:
Representación gráfica de la función $f'$
Observe que $f'$ es creciente en $]-\infty,0[$ y $]2,+\infty[$ y decreciente en $]0,2[$.

Representación gráfica de la función f:
Representación gráfica de la función f

Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos $]-\infty,0[\;,\;\; ]2,+\infty[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]0,2[$.

Damos ahora la  definición de punto de inflexión
 Definición
 Se dice que $(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de una funciónf, si existe un intervalo $]a,b[$ tal que $x_{0} \in ]a,b[$, y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre $]a,x_{0}[$, y cóncava hacia abajo sobre $]x_{0},b[$, o viceversa.
Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:
Ejemplos:
1.
El punto $(0,1)$ es un punto de inflexión de la curva con ecuación $f(x)=x^3+1$, pues $f''(x)=6x$ es positiva si $x>0$, y negativa si $x<0$, de donde f es cóncava hacia arriba para $x>0$, y cóncava hacia abajo para $x<0$.

Gráficamente se tiene:
 
2.
Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación$f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}+\displaystyle\frac{x^3}{6}-x^2+1$

Se tiene que $f'(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}+\displaystyle\frac{x^2}{2}-2x$ por lo que$f''(x)=x^2+x-2=(x-1)(x+2)$

Resolvamos las desigualdades $f''(x)>0, f''(x)<0$

Como $f''(x)>0$ si $x \in ]-\infty,-2[ \;\cup \; ]1,+\infty[$ entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en esos intervalos.

La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo $]-2,1[$ pues en él $f''(x)<0$.

Luego los puntos $(-2,-3)$ y $\left(1,\displaystyle\frac{1}{4}\right)$ son puntos en los que cambia la concavidad y por tanto son puntos de inflexión.

La gráfica de la función f es la siguiente:

Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo.

En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre detangente de inflexión. Gráficamente:

 
 
Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.

 Teorema 7

Si $(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de f y si $f''(x_{0})$ existe, entonces $f''(x_{0})=0$

Demostración: Al final del capítulo.
Ejemplo:

Considere la función f con ecuación $f(x)=x^3+x^2+x$.

La segunda derivada de f es $f''(x)=6x+2$.

Note que $f''(x)>0$ si $x>\displaystyle\frac{-1}{3}$, y, $f''(x)<0$ si $x<\displaystyle\frac{-1}{3}$

Luego, f es cóncava hacia arriba para $x>\displaystyle\frac{-1}{3}$, y cóncava hacia abajo para $x<\displaystyle\frac{-1}{3}$

Se tiene entonces que $\left(\displaystyle\frac{-1}{3}, f\left(\displaystyle\frac{-1}{3}\right)\right)$ es un punto de inflexión.

Evaluando la segunda derivada de f en $x=\displaystyle\frac{-1}{3}$ resulta que $f''\left(\displaystyle\frac{-1}{3}\right)=0$ con lo que se verifica lo expresado en el teorema anterior.

En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.

 Teorema 8
 
Si:
i.
f es una función continua sobre un intervalo I,
ii.
$x_{0}$ es un punto interior de I tal que $f''(x_{0})=0$, ó $f''(x_{0})$ existe, y
iii.
Si existe un intervalo $]a,b[$ con $x_{0} \in ]a,b[$, $(]a,b[ \in I)$ tal que: 
  1. $f''(x)>0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)<0$ cuando $x \in ]x_{0},b[$, entonces$(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de f. 
  2. $f''(x)<0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)>0$ cuando $x \in ]x_{0},b[$, entonces$(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de f. 
  3. $f''(x)>0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)>0$ cuando $x \in ]x_{0},b[$, o bien, $f''(x)<0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)<0$ cuando $x \in ]x_{0},b]$ entonces$(x_{0},f(x_{0}))$ no es un punto de inflexión de la gráfica de f.

    Demostración: Es similar a la dada para el Teorema 4, sustituyendo fpor $f'$, y $f'$ por $f''$.
Ejemplos:
  1. Sea f una función con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}+\displaystyle\frac{x^3}{6}-x^2+x$ con $x \in I \! \! R$. Note que f es una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La segunda derivada de f es $f''(x)=x^2+x-2$, que es igual a cero si y solo si $x=1$ ó $x=-2$.

    Así $f''(-2)=f''(1)=0$

    Observemos la solución de las desigualdades $f''(x)>0$, y $f''(x)<0$ por medio de la siguiente tabla:

    Como $f''(x)>0$ para $x \in ]-\infty,-2[$ y $f''(x)<0$ para $x \in ]-2,1[$ entonces $(-2,f(-2))$ es un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8.

    De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como $f'(x)<0$ para $x \in ]-2,1[$ y $f''(x)>0$ para $x \in ]1,+\infty[$, entonces $(1,f(1))$ es un punto de inflexión.
  2. Consideraremos ahora la función g con ecuación:

    , con $x\geq 1$


    Como $f''(x)=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x-1}}$se tiene que $f''(x)$ nunca se hace cero y que $f''(1)$ no existe.

     
    Además $f''(x)$ es mayor que cero para $x \in ]1,+\infty[$, por lo que f siempre es cóncava hacia arriba en su dominio, y por lo tanto $(1,f(1))$ no es punto de inflexión. 

Criterio de la segunda derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f '(c)=0, f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f '(c) = 0, f(c) debe ser un máximo relativo de f.

Teorema

Sea f una función tal que f '(x) = 0 y la segunda derivada de  f existe en un intervalo abierto que contiene a x
  1. Si f ''(x) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (x, f(x)).
  2. Si f ''(x) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (x, f(x)).
Si f ''(x) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en x, un mínimo relativo en (x, f(x)) o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.


Publicadas por a la/s 8 comentarios:
Suscribirse a: Comentarios (Atom)